AMOR VACUI - zápisky z cesty

TEORIE MNOŽIN A DEFINICE PŘIROZENÝCH ČÍSEL
Konstrukce přirozených čísel v matematice vychází z teorie množin, kterou vybudoval německý matematik Georg Cantor kolem roku 1872. Pojem množiny se stal základním pojmem matematiky. Požadujeme jen, aby každá množina byla určena svými prvky, takže si ji můžeme představovat jako souhrn prvků (toto není přesná definice, ale to není předmětem tohoto příspěvku). Základní a vlastně jedinou vlastností množin je, že mají prvky, přičemž tyto prvky jsou rovněž množinami. Přitom vůbec neříkáme, co to množina je, zajímáme se jen o to, zda jedna množina je prvkem druhé množiny.
Vlastnost být prvkem je tedy vztahem mezi dvěma množinami, tak jako vlastnost být příbuzný je vztahem mezi lidmi. Prvek je tedy pomocný pojem, který nemá smysl sám o sobě, ale pouze jako označení vztahu (tedy ve spojení být prvkem). Ve skutečnosti v teorii množin nemáme jiné objekty, než množiny.
Fakt, že množina je určena svými prvky, je vyjádřen axiomem extensionality: Dvě množiny mají tytéž prvky právě tehdy, když jsou si rovny (platí obousměrně).
Existuje množina, která se vyznačuje tím, že nemá žádné prvky. Nazývá se prázdná a označuje se -0- (přeškrtnutou nulou; de, aby nevznikly zmatky se zobrazením, budu používat znak -0-). Mluvíme o axiomu prázdné množiny.
Jestliže libovolný prvek množiny A je prvkem množiny B, pak je množina A podmnožinou množiny B. Pro libovolnou množinu platí, že že -0- (prázdná množina) je její podmnožinou.
Stejně jako pojem prvek, nemá ani pojem podmnožina sám o sobě smysl /každá množina je jak prvkem, tak podmnožinou jiné množiny); smysl má jen vztah být podmnožinou. Podmnožiny a prvky nelze zaměňovat. Pokud si množiny představujeme v hmotné podobě, lze velmi těžko vysvětlit podstatný rozdíl mezi prvkem a a podmnožinou {a} množiny A. Je třeba se držet důsledné definice podmnožiny. Například prázdná množina nemůže být prvkem prázdné množiny (vyznačuje se tím, že nemá prvky), ale platí, že prázdná množina je podmnožinou prázdné množiny (prázdná množina je podmnožinou pro libovolnou množinu, tedy i pro sebe sama). První tvrzení tedy vyplývá z definice prázdné množiny, druhé z definice pojmu býti podmnožinou. Vskutku každý prvkem množiny -0- je prvkem množiny -0-...
Z množin lze tvořit nové množiny sjednocením, průnikem a rozdílem původních množin (detaily zde pomíjím).
Máme-li množiny A, B, můžeme vytvořit novou množinu {A,B}, která má za prvky právě A a B. Tento způsob tvorby množin se nazývá axiom dvojice.
Pomocí axiomu dvojice můžeme z prázdné množiny -0- vytvořit nové množiny, např. {-0-}, {{-0-}}, {-0-,{-0-}}, atd. Tímto způsobem můžeme definovat přirozená čísla:
0 = -0-
1 = {-0-, -0-} = {-0-}
2 = {-0-, {-0-}}
3 = {-0-, {-0-}, {-0-, {-0-}}}
atd.
Vždy n = n={0, 1, . . ., n-1}
Tedy přirozená čísla jsou množiny. Rovněž můžeme vytvořit množinu všech nezáporných celých čísel, nazýváme to axiomem nekonečna.
Další výklad pomíjím, zájemci jej najdou v literatuře a těm, kdo se základy matematiky hlouběji zabývat nehodlají, je pro vytvoření základní představy o konstrukci přirozených čísel tento zjednodušený výklad dostačující.
(podle skript: Jiří Rosický, Josef Niederle: Základy matematiky, 2001)

ZÁVĚR
Nyní se pokusím formulovat důsledky řečeného trochu jiným jazykem, abychom lépe získali výsledný obrázek a lépe našli souvislosti s předmětem našeho zájmu.

Tedy:
Každé číslo je výslednicí všech předchozích čísel počínaje nulou. Struktura každého čísla v sobě obsahuje struktury všech předcházejících čísel. Každé číslo je tedy jedinečnou strukturou množin a podmnožin, jejichž základem je ale vždy prázdná množina, tedy nula, Nic, Ajn. Každé číslo je tedy unikátní strukturou forem bez obsahu. Z toho také plyne, že každé číslo je, co se do své struktury týče, jedinečné. Co se obsahu týče, je jeho základem prázdnota, nula, tedy nekonečno; co se vnitřní podstaty týče, není rozdílu (AL I:4).

Strukturu čísla lze tedy znázornit také takto (vezměme třeba číslo 10):


                                                       0123456789
                                                        012345678
                                                         01234567
                                                          0123456
                                                           012345 
                                                            01234
                                                             0123
                                                              012
                                                               01
                                                                0

                                                                •

linkuj.cz vybrali.sme.sk